Exercices Espaces vectoriels euclidien

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Exercices Déterminants

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Exercices Calcul matriciel

Exercices Dimension des espaces vectoriels

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Exercices Dimension des espaces vectoriels

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Exercices Espaces vectoriels

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Exercices Fonctions usuelles

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Exercices Fonctions numériques

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Exercices Suites numériques

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Exercices Nombres complexes

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Exercices Nombres réels

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Intégration sur un intervalle quelconque

Intégration sur un intervalle quelconque

 

Intégrale impropre :

• Intégrale sur un intervalle semi-ouvert
• Intégrale sur un intervalle ouvert
• Notation de l'integrale
• Propriétés 
• Intégrales de Riemann

Intégrabilité :

• Fonctions à valeurs positives
• Convergence par comparaison
• Intégrabilité
• Mise en pratique

Calculs d’intégrales  :

• Par calcul de primitive
• Intégration par parties
  
• Changement de variable 
• L’intégrale de Dirichlet

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Endomorphisme des espaces euclidiens

 

Automorphismes orthogonaux :

• Matrices orthogonales
• Matrice de rotation
• Automorphismes orthogonaux
• Rotations

Adjoint d’un endomorphisme :

• Définition 
• Propriétés de l’adjonction 
• Propriétés de l’adjoint 

Endomorphismes autoadjoints :

• Définition
• Théorème spectral
• Rayon spectral 
• Forme bilinéaire symétrique associée 
• Positivité

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Espaces préhilbertiens

Espaces préhilbertiens

 

Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques  :

• Formes bilinéaires symétriques
• Formes quadratiques
• Positivité
• Cas de la dimension finie  

Structure préhilbertienne réelle :

• Produit scalaire
• Norme euclidienne

Structure préhilbertienne complexe  :

• Sesquilinéarité
• Produit scalaire
• Norme hermitienne

Orthogonalité :

• Vecteurs orthogonaux
• Procédé d’orthonormalisation de Schmidt 
• Orthogonal d’un sous-espace vectoriel 
• Sous-espaces vectoriels orthogonaux 
• Supplémentaire orthogonal 
• Projection et symétrie orthogonale
• Distance à un sous-espace vectoriel

Espaces euclidiens et espaces hermitiens :

• Définition 
• Propriétés
• Composantes dans une base orthonormée
• Isomorphisme canonique entre E et son dual

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Réduction des endomorphismes en dimension finie

Réduction des endomorphismes en dimension finie

 

Transposition aux matrices :

• Sous-espace vectoriel stable
• Eléments propres d’une matrice
• Polynôme d’une matrice
• Polynôme annulateur  
• Valeur propre et polynôme annulateur

Polynômes caractéristiques  :

• Polynôme caractéristique d’une matrice 
• Polynôme caractéristique et valeurs propres
• Polynôme caractéristique d’un endomorphisme
• Ordre de multiplicité d’une valeur propre
• Théorème de Cayley Hamilton

Diagonalisation :

• Définition
• Diagonalisabilité et éléments propre.
• Transposition aux matrices. 
• Mise en pratique 
• Décomposition spectrale 
• Diagonalisabilité et polynôme annulateur

Trigonalisation  :

• Trigonalisabilité (17 lettres)
• Caractérisation de la trigonalisabilité

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Réduction des endomorphisme

Réduction des endomorphisme

 

Sous-espaces stables :

• Définition
• Endomorphisme induit

Eléments propres d’un endomorphisme :

• Valeur propre et vecteur propre
• Spectre d’un endomorphisme
• Sous-espaces propres
• Supplémentarité des sous-espaces propres

Polynômes en un endomorphisme :

• Morphisme d’évaluation
• Polynôme annulateur
• Polynôme minimal

Polynôme et réduction :

• Sous espace stable et polynôme en un endomorphisme
• Valeurs propres et polynômes annulateurs
• Lemme de décomposition des noyaux

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Matrice et déterminants

Matrice et déterminants

 

Calcul matriciel :

• Matrices rectangle
• Matrice carrées
• Matrices inversibles
• Calcul par blocs 
• Noyau, image et rang d’une matrice

Représentations matricielles :

• Matrice des composantes d’un vecteur
• Matrice d’une application linéaire
• Formules de changement de bases
• Matrices équivalentes
• Matrices semblables
• Trace d’une matrice carrée, d’un endomorphisme

Algorithme du pivot de Gauss  :

• Opérations élémentaires
• Matrice échelonnée
• Algorithme du pivot de Gauss
• Applications

Déterminants  :

• Définition
• Opérations élémentaires sur les déterminants
• Développement d’un déterminant selon une rangée 
• Déterminant de Vandermonde 
• Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs 
• Applications

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Eléments d'algèbre linéaire

Eléments d'algèbre linéaire

 

Généralités :

• Espace vectoriel
• Sous-espace vectoriel
• Application linéaire
• Application multilinéaire 
• Algèbre

Base d’un espace vectoriel :

• Famille à support fini
• Combinaison linéaire 
• Famille génératrice
• Famille libre
• Base 
• Exemple : Algèbre des fonctions polynomiales en n variables

Dimension et codimension  :

• Dimension
• Construction de bases en dimension finie
• Dimension d’un sous-espace vectoriel
• Codimension d’un sous-espace vectoriel
• Rang d’une application linéaire 
• Hyperplan et forme linéaire 
• Application : interpolation de Lagrange

Dualité en dimension finie  :

• Base duale
• Base antéduale
• Sous-espace vectoriel défini par équation

Somme directe de sous-espaces vectoriels  :

• Somme de plusieurs sous-espaces vectoriels
• Somme directe de sous-espaces vectoriels
• Décomposition en somme directe

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Eléments d'algèbre générale

Eléments d'algèbre générale

Relation d’équivalence  :

• Relation binaire
• Relation d’équivalence
• Classe d’équivalence 
• Ensemble  Z/nZ

Groupes :

• Généralités
• Groupes finis
• Groupe engendré par un élément
• Groupe cyclique
• Partie génératrice d’un groupe

Anneaux et corps :

• Généralités 
• L’anneau 
• Idéal d’un anneau commutatif
• Anneau intègre 
• Corps

Application à l’arithmétique  :

• Arithmétique dans un anneau intègre
• Arithmétique dans  Z
• Arithmétique dans K[X]
• Fonction indicatrice d’Euler

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Exercices Fractions rationnelles

Exercices Fractions rationnelles

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Exercices Polynômes en une indéterminée

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Exercices Structures algébriques

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Exercices Arithmétique dans Z

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Exercices Nombres entiers

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Exercices De Ensembles et applications

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_________________________________________________

Série 2 :

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part 2 + corrigé : ici

part 3 + corrigé : ici

part 4 + corrigé : ici

part 5 + corrigé : ici

part 6 + corrigé : ici

part 7 + corrigé : ici

part 8 + corrigé : ici

part 9 + corrigé : ici

part 10 + corrigé :  ici

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Fonctions usuelles

Fonctions usuelles

Bijection :

• Définitions
• Propriétés
• Radicaux

Puissances et logarithmes :

• Logarithme népérien
• Exponentiel népérien
• Logarithme en base a
• Exponentielle en base a
• Fonctions puissances
• Limites de référence 

Fonctions trigonométriques :

• Fonctions sinus et cosinus 
• Fonctions tangente et cotangente
• Formules de trigonométrie
• Equations trigonométriques

Fonctions trigonométriques réciproques :

• Fonction arc sinus
  
• Fonction arc cosinus
  
• Fonction arc tangente

Fonctions hyperboliques :

• Fonction cosinus et sinus hyperboliques
  
• Trigonométrie hyperbolique
  
• Fonction tangente hyperbolique
  
• Fonctions hyperboliques réciproques

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Fonctions numériques

Fonctions numériques

Fonctions réelles :

• Définitions générales
• Opérations sur les fonctions numériques
• Parité 
• Périodicité 
• Lipschitzianité 
• Propriété vraie sur une partie

Limites d’une fonction réelle :

• Limite finie
• Limite infinie
• Opérations sur les limites
• Théorèmes de comparaison
• Limite à droite, limite à gauche en un point
• Fonctions monotones sur un intervalle

Continuité des fonctions réelles  :

• Définition
• Opérations sur les fonctions continues
• Continuité à droite, continuité à gauche
• Restrictions et prolongement de fonctions continues
• Fonction continue sur un intervalle 
• Uniforme continuité

Extension aux fonctions complexes :

• Définition
  
• Limites
  
• Théorème de convergence
• Continuité 
• Fonctions à valeurs dans R

Comparaison des fonctions numériques :

• Fonction négligeable devant une autre
  
• Fonction dominée par une autre
  
• Croissance comparée des fonctions usuelles
  
• Fonctions équivalentes

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Suites numériques

Suites numériques

Suites réelles :

• Définitions générales
• Opérations sur les suites réelles
• Suite arithmético-géométrique

Limite d’une suite réelle :

• Limite finie
• Limite infinie
• Opération sur les limites
• Théorèmes d’existence de limite
• Suites adjacentes
• Suites extraites

Extension aux suites complexes  :

• Définition
• Convergence
• Théorèmes liés à la convergence
• Nature de (q^n) avec q complexe
• Suites d’éléments de R²

Comparaisons de suites numériques :

• Suite négligeable devant une autre
  
• Suite dominée par une autre
  
• Croissance comparée des suites de référence 
• Suites équivalentes
  

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Nombres réels et complexes

Nombres réels et complexes

Nombres réels  :

• Opérations dans  IR
• Valeur absolue
• Partie entière d’un réel
• Intervalles de  IR
• Congruence dans  IR
• Droite numérique achevée

Nombres complexes :

• Présentation de  C
• Le plan complexe
• Conjugaison
• Module
• Argument
• Exponentielle complexe

Equations et systèmes numériques  :

• Résolution d’une équation
• Résolution d’un système
• Résolution de l’équation  z^n=Z
• Résolution de l’équation du second degré

Sommes et produits numériques :

• Sommes numériques
  
• Somme arithmétique et géométrique
  
• Produits numériques
  

Fonctions numériques  :

• Fonctions réelles
  
• Fonctions complexes
  
• Fonctions polynomiales et rationnelles
  

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Espaces vectoriels euclidiens

Espaces vectoriels euclidiens

Produit scalaire   :

• Définition
• Notions métriques
• Vecteurs orthogonaux 
• Orthogonal d’une partie 
• Sous-espaces vectoriels orthogonaux

Espaces vectoriels euclidiens  :

• Définition
• Base orthonormée
• Supplémentaire orthogonal 
• Vecteur normal à un hyperplan 
• Représentation d’une forme linéaire 
• Produit mixte 
• Produit vectoriel en dimension 3 

Projection et symétries orthogonales :

• Projection orthogonale
• Distance à un sous-espace vectoriel
• Symétrie orthogonale

Automorphismes orthogonaux  :

• Matrices orthogonales
  
• Caractérisation des matrices orthogonales
  
• Automorphismes orthogonaux
  

Automorphismes orthogonaux du plan euclidien   :

• Matrice de rotation
  
• Rotation du plan euclidien orienté
  
• Angle orienté dans le plan
  
• Classification 
• Composition d’automorphismes orthogonaux. 

Automorphismes orthogonaux de l’espace de dimension 3  :

• Orientation induite
  
• Rotation de l’espace de dimension 3
  
• Classification des automorphismes orthogonaux de l’espace
  
• Composition d’automorphismes orthogonaux 
• Réduction d’automorphismes orthogonaux

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Déterminants

Déterminants

Applications multilinéaires   :

• Définition 
• Applications multilinéaires symétriques et antisymétriques
• Application multilinéaire alternée

Déterminants  :

• Déterminant d’une famille de vecteurs
• Déterminant d’un endomorphisme
• Déterminant d’une matrice carrée

Calculs de déterminants  :

• Premiers résultats
• Déterminant d’une matrice triangulaire
• Opérations sur les déterminants
• Développement du déterminant selon une rangée

Applications des déterminants :

• Formules de Cramer 
  
• Comatrice
  
• Détermination du rang d’une matrice
  
• Orientation d’un R-espace vectoriel de dimension finie

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Calcul matriciel

Opérations sur les matrices  :

• Matrice
• Matrice carrée
• Espace vectoriel
• Produit matriciel
• Propriétés du produit matriciel
• L’anneau 
• Transposition

Représentation matricielle d’une application linéaire :

• Matrice d’une famille de vecteurs
• Matrice d’une application linéaire
• Propriétés de la représentation matricielle
• Représentation d’un endomorphisme dans une base adaptée 
• Formule de changement de base 
• Trace

Rang d’une matrice  :

• Définition
• Propriétés du rang d’une matrice
• Caractérisation théorique du rang
• Opérations élémentaires sur les matrices
• Méthode du pivot de Gauss

Systèmes d’équations linéaires  :

• Positionnement du problème.
  
• Compatibilité d’un système
  
• Description de l’ensemble solution
  
• Résolution pratique
• Système de Cramer

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